SEKILAS TENTANG RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN SIFATNYA

1. Pengertian Relasi

Definisi 1 (Hasil Kali Kartesian)

Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a  A dan b  B.

Contoh 1

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka

AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}

Banyaknya himpunan yang terlibat dalam operasi ini mempengaruhi nama operasinya, jika operasi tersebut hanya melibatkan dua himpunan, disebut operasi biner.

Definisi 2 (Relasi)

Relasi, dilambangkan dengan huruf besar R, adalah Subset dari hasil kali Cartesian (Cartesian product). Jika (x, y)  R, maka x berelasi dengan y.

{x  A| (x, y)  R untuk suatu y  B} disebut domain dari R. Sedangkan Range dari R= {y  B| (x, y)  R untuk suatu x  A}

Contoh 2

Pada contoh 1, kita dapat membuat relasi:

R1 = {(1, a), (1, b)}

R2 = {(1, a), (2, a), (3, a)}

R3 = {(1, b), (2, b), (1, a}

R4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}

R5 =

R6={(a, 1), (2, a)}

Himpunan pasangan terurut R1, R2, R3, R4, R5, merupakan subset dari AxB, dan membentuk suatu relasi, tetapi R6 bukan relasi dari AxB, karena (a, 1) AxB.

Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi R1, ditulis: (1, a)  R1 atau 1 R1 a. Dan jika (2, a) bukan anggota relasi R1, ditulis:

(2,a)  R1 atau 2 R1 a.

Definisi 3 (Relasi biner atas satu himpunan A)

Relasi biner atas himpunan A adalah relasi biner dari A ke A.

Relasi yang demikian ini, seringkali muncul dalam kehidupan sehari-hari, di dalam kalkulus I, kita kenal relasi dari R ke R, dari bilangan riil ke bilangan riil.

Contoh 3

Masing-masing relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat (Z):

R1 = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b  Z}

R2 = {(a, b)| a < b, dan a, b   Z}

R3 = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b  Z}

R4 = {(a, b)| a=b, dan a, b   Z}

R5 = {(a, b)| a = b+1, dan a, b  Z}

R6 = {(a, b)| a + b ≤ 3, dan a, b   Z}

R7 = {(a, b)| a|b, dan a, b   Z, dan b≠0}

Contoh 4

D={a, b, c}

(D)={ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}}

2. Operasi Relasi

Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan

juga berlaku dalam relasi:

1. Operasi  (intersection)

2. Operasi  (union)

3. Operasi  (symmetric difference)

4. Operasi – (difference)

5. Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian

product)

Contoh 5

Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan

R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:

R1  R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)}

R1  R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)}

R1  R2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}

R1 – R2 = {(5, 5), (6, 6)}

(R1  R2) = AxA – (R1  R2) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2),

(6, 1), (6, 2), (6, 5)}.

Operasi komposisi, merupakan gabungan dari dua buah relasi yang harus memenuhi syarat tertentu, yaitu jika R1 relasi dari A ke A dan R2 relasi dari A ke A, maka relasi komposisi R1 dan R2, dinyatakan oleh R2°R1 berarti relasi R1 diteruskan oleh relasi R2. Syarat tersebut

adalah jika (a, b)  R1 dan (b, c)  R2, maka (a, c)  R2°R1.

Contoh 6

Dengan menggunakan contoh 5, didapat:

R2°R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)}

Yang diperoleh dengan cara:

Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan

R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:

R1	R2	R2◦R1	R1	R2	R2◦R1
(1,1)	(1,1)	(1,1)	(6,6)	(1,1)	–
	(2,2)	–		(2,2)	–
	(2,5)	–		(2,5)	–
	(1,2)	(1,2)		(1,2)	–
	(1,6)	(1,6)		(1,6)	–
	(5,6)	–		(5,6)	–
(2,2)	(1,1)	–	(2,5)	(1,1)	–
	(2,2)	(2,2)		(2,2)	–
	(2,5)	(2,5)		(2,5)	–
	(1,2)	–		(1,2)	–
	(1,6)	–		(1,6)	–
	(5,6)	–		(5,6)	(2,6)
(5,5)	(1,1)	–
	(2,2)	–
	(2,5)	–
	(1,2)	–
	(1,6)	–
	(5,6)	(5,6)

Tentunya operasi komposisi ini tidak hanya berlaku pada relasi atas satu himpunan saja, melainkan dapat pula digunakan untuk relasi yang melibatkan dua himpunan. Jika S relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan R relasi dari himpunan B ke himpunan C, maka R°S, komposisi S diteruskan ke R adalah jika (a,b) S, dan (b,c) R, maka (a, c)  R°S.

Contoh 7

Diberikan: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a),

(2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan R°S.

Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan:

R°S = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapat dari

tabel berikut:

S	R	R◦S	S	R	R◦S
(1,a)	(a,x)	(1,x)	(2,b)	(a,x)	–
	(a,y)	(1,y)		(a,y)	–
	(b,z)	–		(b,z)	(2,z)
(2,a)	(a,x)	(2,x)	(3,b)	(a,x)	–
	(a,y)	(2,y)		(a,y)	–
	(b,z)	–		(b,z)	(3,z)

3. Sifat Relasi

Sifat relasi:

1. Reflexive: a  A, maka (a, a) R

2. Symmetry:  a, b  A, jika (a, b)  R à (b, a) R

3. Antisymmetry:  a, b  A, jika (a, b)  R  a ≠ b à (b, a)  R

{ini setara dengan (a,b)  R  (b,a)  R à a=b}

4. Transitivity:  a, b, c  A, jika (a, b)  R  (b, c)  R à (a, c) R

Contoh 9:

Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3),

(3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Jawab:

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5. R1 tidak refleksif karena (3, 3)R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel berikut:

(a,b)	(b,c)	(a,c)	Keterangan
(1,1)	(1,2)	(1,2)	Anggota R3
(1,2)	(2,2)	(1,2)	Anggota R3
(1,4)	(4,1)	(1,1)	Anggota R3
(2,1)	(1,4)	(2,4)	Bukan Anggota R3
(2,2)	(2,1)	(2,1)	Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4),

(4, 4)}

(a,b)	(b,c)	(a,c)	Keterangan
(1,1)	(1,2)	(1,2)	Anggota R5
(1,2)	(2,2)	(1,2)	Anggota R5
(1,3)	(3,3)	(1,3)	Anggota R5
(1,4)	(4,1)	(1,1)	Anggota R5
(2,2)	(2,4)	(2,4)	Bukan Anggota R3
(2,2)	(2,1)	(2,1)	Anggota R3
(2,4)
(3,3)
(3,4)
(4,4)

4. Relasi Ekivalen

Pengertian Relasi Ekivalen

Definisi 4 (Relasi Ekivalen)

Adalah relasi yang memenuhi sifat: refleksif, simetri, dan transitif

Contoh 15

R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, bZ}

Pada relasi ini, jelas dipenuhi a=a, aZ, berarti (a, a)  R atau bersifat refleksif.

Untuk sifat simetri, terdapat dua kemungkinan:

– Jika a=b, berarti (a, b) R,  a, bZ maka b=a, berarti (b, a) R

– Jika a=-b, berarti (a, b) R,  a, bZ maka b=-a, berarti (b,a) R, Sehingga R bersifat simetri.

Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan:

– Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c) R,  a,b,cZ

– Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c) R, a,b,cZ

– Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c) R,  a,b,cZ

– Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c) R,  a,b,cZ

Sehingga R bersifat transitif.

Jadi, R relasi ekivalen.

Contoh 16

R= {(a, b)| a-b Z, a, bR}

Jelas kita dapatkan a-a =0Z, berarti (a, a) R, berarti R bersifat refleksif

Jika a-bZ, maka b-a = -(a-b) Z, berarti (b, a)  R, berarti R bersifat simetri

Jika a-bZ dan b-c Z, maka a-c=(a-b) + (b-c), berarti a-c  R, berarti R bersifat transitif.

Jadi, R relasi ekivalen.

FUNGSI

Dalam matematika dan banyak aplikasi lain fungsi memainkan peranan penting. Dalam bab ini akan membahas fungsi sebagai bentuk khusus dari relasi. Relasi akan dibahas secara lebih mendalam dalam Bab 7.

Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B,

dapat dipandang sebagai aturan atau cara memasangkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f, dan himpunan B dinamakan daerah kawan (codomain) dari f.

Kawan (image) dari a   A adalah b = f(a)   B, seperti diagram panah pada Gambar 6.1.

Daerah hasil (range) dari f, dinotasikan sebagai Ran(f), adalah himpunan semua elemen B yang menjadi kawan elemen A. Jadi, Ran(f)  B.

fungsi  dapat pula dipandang sebagai himpunan bagian A B dan ditulis pasangan berurut (a,f(a)).

Contoh 6.1.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka

f = {(1, a), (2, a), (3, c)} adalah fungsi, sedangkan

g = {(1, a), (1, b), (3, c)} bukan fungsi karena g(1) = {a, b} (tidak memasangkan elemen A tepat satu pada elemen B).

Perhatikan bahwa dalam contoh ini Ran(f) = {a, c}.

1. Fungsi Kebalikan (Fungsi Invers).

Sebuah fungsi dikatakan dapat dibalik (invers) bila  juga merupakan fungsi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 6.2. Fungsi f pada Contoh 6.1 tidak dapat dibalik karena .

2. Komposisi Fungsi

Misalkan dan adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan

bahwa komposisi dari f dan g, , adalah fungsi dari A ke C. Jika aA dan b = f(a)   B sedangkan c = g(b)   C, maka

()(a) = g(f(a));

sehingga ()(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Gambar 6.3 menyajikan komposisi fungsi dalam bentuk diagram panah

Contoh 6.3. Misalkan  dengan f(x) = x + 1 dan g(y) = y²:

Tentukanlan dan .

Jawab:

()(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1:

dan

()(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1:

Pada umumnya, ≠ .